A MATEMÁTICA DA  MÚSICA

Por Elton Alisson 

Agência FAPESP – Além de astrônomo, físico, matemático e filósofo, Galileu Galilei (1564-1642) também tinha formação em música, sobre a qual chegou a escrever em um de seus tratados teóricos. Porém, a concepção musical do cientista italiano era muito diferente da de seu pai, o músico prático e teórico Vincenzo Galilei (1533-1591).

Ao contrário do que Galileu e alguns teóricos musicais defendiam no século 16, Vincenzo demonstrou que a música não poderia ser embasada nas ideias pitagóricas abstratas vigentes na época de razões de números inteiros, mas sim no fenômeno físico sonoro.

Essa contribuição do pai de Galileu para a história da música e da ciência é relatada no livro Vincenzo Galilei contra o número sonoro, publicado em setembro com apoio da FAPESP por meio da modalidade Auxílio à Pesquisa – Publicações.

Resultado do projeto de doutorado em história da ciência da pesquisadora Carla Bromberg, realizado na Pontifícia Universidade Católica (PUC) de São Paulo com Bolsa da FAPESP, o livro aborda um período anterior à Revolução Científica sobre o qual, segundo a autora, há poucos estudos na história da ciência.

“O século 16 costuma ser anexado ao 17 na historiografia da ciência e suas características acabam sendo negligenciadas”, disse Bromberg à Agência FAPESP. “Esse período tem uma importância muito grande para a história da ciência porque nele foram escritos tratados teóricos sobre áreas chamadas de subalternas, como a música e a ótica, em que os autores demonstram um descontentamento com relação à natureza de suas ciências e propuseram discussões que levaram à reclassificação delas.”

Em alguns desses tratados teóricos, Vincenzo Galilei questiona os fundamentos matemáticos da música. Na época, a área não era classificada sobre uma base sonora, medida por meio de unidades de frequência, por exemplo, mas sobre uma base matemática, sendo entendida como um “número sonoro”.

“Embora existisse na época tanto a música teórica como a prática, a teórica seguia uma tradição platônico-pitagórica, que era defendida por Galileu e alguns teóricos musicais, cujo fundamento era aritmético”, explicou Bromberg.

Segundo ela, por meio de uma série de demonstrações, cálculos matemáticos e argumentos filosóficos, Vincenzo provou a ineficácia da base matemática para a música.

Para isso, o músico, que tocava alaúde, realizou diversos estudos sobre o comportamento dos materiais e os instrumentos musicais da época. E, utilizando a filosofia de Aristóteles (384-322 a.C.) conseguiu estabelecer uma nova fundamentação para a música que, na época, era considerada como ciência.

“Esse fato é bastante interessante porque a história da ciência do século 17 diz que foi quando se rejeitou o método aristotélico é que se conseguiu desenvolver uma nova concepção moderna de ciência”, disse Bromberg.

“No caso de Vincenzo Galileu, no século 16, foi justamente se valendo da filosofia de Aristóteles que ele conseguiu descobrir conceitos e desenvolver uma teoria para tirar a música do pedestal da matemática e conduzi-la para o campo da acústica”, disse.

Contribuições musicais

De acordo com Bromberg, uma das principais características musicais do repertório do século 16 era a polifonia – composições musicais escritas para várias vozes independentes uma das outras, porém com o mesmo grau de importância.

Por meio de diversos tratados, Vincenzo Galileu começou a unificar esse sistema musical de múltiplas vozes independentes e a transformá-lo em um sistema mais parecido com o existente hoje, composto por escalas musicais diatônicas (que possuem um determinado tom em relação a uma nota musical principal).

Em função disso, pode-se dizer que o músico se antecipou à publicação em 1722 de “O cravo bem temperado”, por Johann Sebastian Bach (1685-1750). Na obra, o compositor alemão desenvolveu um conjunto de composições para o instrumento de teclado utilizando a escala diatônica como “tempero” para calcular intervalos entre notas musicais.

“Por causa dessa prática das escalas diatônicas, ele conseguiu calcular intervalos musicais, com razões matemáticas, que não eram adotados pelos teóricos da época dele. Ele mostra que a música tem na matemática apenas sua instrumentalização, mas que não pode ter sua definição e seus conceitos baseados nela”, disse Bromberg.

A Física da Música

Características sonoras

A ciência pode hoje apontar certas características físicas de um som musical que o distingue de sons que são apenas ruídos. Utilizando instrumentos que transcrevem as ondas sonoras em imagens visuais (tais como o “osciloscópio”), os cientistas aprenderam que a maioria dos sons musicais formam estruturas definidas por ondas e descritas por funções matemáticas (chamadas de “função seno” ou “senóide”), e que cada instrumento produz uma modalidade matemática diferente. O som é medido fisicamente por três grandezas; a intensidade, a frequência e o timbre. Intensidade refere-se à amplitude das oscilações da pressão do ar. Frequência é o número de vezes que a oscilação ocorre por unidade de tempo. E timbre é relativo à presença de harmônicos no som.

Através de um ociloscópio, podemos "ler" a matemática que há por trás da música.

Cada tipo de instrumento musical tem uma espécie de "assinatura": um conjunto de características sonoras associadas que têm uma descrição matemática extremamente precisa, embora possam parecer subjetivas. O som pode ser representado pela soma de diversas ondas individuais, o que chamamos de “componentes de Fourier”. O que diferencia um instrumento de outro são as amplitudes e a duração de cada um dos harmônicos presentes no som resultante. A esse conjunto de características chamamos de timbre. A mesma nota emitida por uma trompa soa diferente quando produzida por um violino. Isto acontece porque, embora a freqüência fundamental dos sons seja a mesma em ambos os instrumentos, a excitação das freqüências harmônicas é diferente. No violino, uma extensa gama de harmônicos comparece junto à fundamental, e do conjunto desses sons resulta o timbre do instrumento.

Mesmo uma única corda pode vibrar em vários harmônicos simultaneamente. O timbre do instrumento é a soma destes harmônicos em conjunto com as características da caixa acústica do violão.

Outras caracterizações da música envolvem harmonia e ritmo. A harmonia é a relação que se estabelece entre notas musicais, de maneira a criar uma sensação agradável. Pode ser dada por regras matemáticas de proporção, mas como podemos ter uma infinidade de regras, a harmonia torna-se subjetiva, variando de acordo com o estilo almejado. Os modelos clássicos tomavam partido do pensamento pitagórico-platônico, buscando na música a proporção áurea. Por outro lado, o rock, como proposta moderna de música, subverteu as regras e fez música com acordes que, de acordo com os clássicos, seriam desagradáveis à audição humana.

Ritmo relaciona sucessões de tempos musicais tônicos e átonos, isto é, “fortes” e “fracos”. Pode se definir o ritmo como algo que se aproxima das batidas cardíacas, ou seja, varia de acordo com a emoção que se deseja expor: mais acelerado e frenético ou calmo e suave. Se para a harmonia, mesmo com regras matemáticas, temos uma subjetividade muito forte e presente, com relação ao ritmo tudo se torna subjetivo, isto é, a única maneira de se avaliar um ritmo é baseado em sentimentos e emoções.

Fontes sonoras

Fonte sonora é qualquer corpo capaz de fazer o ar oscilar com ondas de freqüência e amplitude detectáveis pelos nossos ouvidos. No entanto, as fontes mais variadas e ricas em qualidade sonora são os instrumentos musicais, que, de forma geral, podem ser classificados em três grandes grupos: os instrumentos de percussão (como tambor, atabaque, bongô, bateria e xilofone), os instrumentos de corda (como violino, viola, contrabaixo, harpa, piano e violoncelo) e os instrumentos de sopro (como clarineta, flauta, flautim, oboé, fagote, órgão de sopro e saxofone). Lembro também de um “instrumento” muitas vezes esquecido: nossa voz é um complexo de mecanismos presentes tanto nos instrumentos de sopro, cordas ou percursão.

Cada instrumento musical tem a característica de emitir uma mesma nota com timbre diferente dos demais instrumentos. Isso dá ao instrumento uma qualidade particular, que o torna único.

Instrumentos de percussão

Nos instrumentos de precursão, o que vale para a música é o ritmo, e não a harmonia.

Os sons dos instrumentos de percussão dependem da vibração da película flexível em que se bate, com baquetas ou com as mãos. A pele do tambor, por exemplo, é extremamente esticada nas bases de uma superfície cilíndrica de madeira ou de metal. As vibrações da pele e do corpo do tambor produzem o som. Em alguns tipos de tambor pode-se alterar a freqüência do som variando-se previamente a tensão da pele. No timbale, o músico consegue alterar a tensão que a pele é presa ao tambor durante a execução sinfônica.

Como instrumentos de ritmo, os tambores produzem sons que diferem radicalmente dos produzidos por instrumentos mais melodiosos. Um bumbo (ou zabumba) e uma tuba, por exemplo, produzem sons de muito baixa intensidade. Mas a tuba toca uma nota musical definida matematicamente, ao passo que o som do bumbo é mais explosivo do que melódico. A razão disto é que a nota da tuba é composta de um certo número de ondas sonoras, cada qual com um comprimento de onda específico, ao passo que a pele em vibração do bumbo e o seu interior cavernoso produzem um enxame desorganizado de ondas. Em vista do tamanho do bumbo, suas ondas são quase todas de baixa intensidade, mas incoerentes demais para compor uma nota reconhecível. Os tambores compreendem a subdivisão mais importante dos instrumentos de percussão. Tais instrumentos podem abranger quase tudo o que produz som quando percutido.

Instrumentos de corda

Os instrumentos de corda têm uma caixa acústica que amplifica o som produzido pela vibração das cordas, como o caso do violino, da viola, do violoncelo, do contra-baixo e do violão.

Na maioria desses instrumentos, o comprimento das cordas são geralmente variados pelos dedos da mão esquerda. Obtêm-se os diferentes tons variando tal comprimento. A harpa e o piano são exceções. Por não ser possível variar o comprimento das cordas da harpa, seus pedais variam a tensão aplicada em tais cordas. Já o piano possui cordas com tensões definidas. Utiliza-se de alavancas associadas à teclas para que se acione a corda.

Assim como o piano, o berimbau é um instrumento de corda percutida.

A maioria dos instrumentos, no entanto, possui cordas presas a um braço e sobre uma caixa acústica de madeira (utilizada para amplificar o som). A madeira e os espaços de ar no corpo de um violino, por exemplo, são essenciais na produção de um som com qualidade. Um bom violino tem a virtude especial de vibrar fielmente com cada corda e nas diversas alturas, mesmo nas mais agudas. Um violino deficiente altera as vibrações, aumentando algumas e omitindo outras.

O estudo dos instrumentos de corda está baseado na teoria das ondas estacionárias, ou seja, na frequência das ondas sonoras que as cordas emitem. Essas frequências naturais dependem de três fatores: a densidade linear das cordas (a massa da corda dividida pelo volume que a mesma ocupa), o módulo da tração a que elas estão submetidas (se a corda está mais apertada ou frouxa no braço do instrumento) e o comprimento linear da corda.

Instrumentos de sopro

Exemplos de instrumentos de sopro: clarinete, clarone, fagote, oboé, sax alto, sax soprano, sax tenor e sax barítono.

Nos instrumentos de corda, os músicos vibram tais cordas e esta vibração se transmite ao instrumento, que vibra o ar, produzindo o som que chega a nossos ouvidos. Por outro lado, nos instrumentos de sopro, o músico vibra o ar diretamente, utilizando-se dos próprios lábios, da força do diafragma e do controle das aberturas do instrumento (com seus dedos).

Através do movimento do ar dentro da coluna de ar, temos o som dos instrumentos de sopro e seus harmônicos.

Se soprarmos várias garrafas (que contenham quantidades distintas de água) por seu gargalo, perceberemos diferentes sons. As que contiverem mais ar (consequentemente menos água) produzirão um tom mais baixo do que as outras. A coluna de ar mais longa, tal como a corda mais longa, produz um som mais grave.

Na maioria dos instrumentos de sopro, da flauta ao órgão, muda-se a frequência do som alterando-se o comprimento da coluna de ar. Em instrumentos onde o ar é movimentado pela boca do instrumentista, o músico aumenta a coluna de ar cobrindo os orifícios do instrumento e a diminui os descobrindo. Isso é feito com as pontas dos dedos diretamente ou com auxílio de teclas ou chaves. No entanto, o órgão de sopro (comumente utilizado em igrejas góticas) movimenta o ar através de um mecanismo próprio, e o controle da coluna de ar se dá por meio das teclas que acionam tubos de diferentes comprimentos e diâmetros.

O bocal de um clarinete, por exemplo, tem uma lâmina fina de bambu, conhecida como "palheta". Soprando no bocal, a palheta vibra, produzindo, deste modo, uma onda sonora que se propaga para a extremidade aberta do instrumento, onde é parcialmente refletida. A onda refletida volta para o bocal, reflete-se de novo, e assim por diante. As ondas, viajando de uma extremidade para outra do tubo, fazem a palheta vibrar com uma certa frequência. Se encurtássemos o tubo, as ondas viajariam uma distância menor, voltando ao ponto de partida em menos tempo; a frequência seria assim aumentada e o som se tornaria mais agudo. Em vez de cortar o tubo, pressionamos teclas de modo a abrir os orifícios existentes nos lados. Isto tem o mesmo efeito que encurtar o tubo, formando uma escala.

No trombone de vara, faz-se o aumento e a redução da coluna de ar movimentando para dentro e para fora um tubo em forma de U (isto é, encurtando ou aumentando o comprimento do tubo). Em outros instrumentos, como a corneta, a tuba, o clarim, a trompa e o trombone, o que produz a vibração do ar é a vibração dos lábios do músico.

No trompete de vara a coluna de ar é variada movendo a extensão em forma de U. Hoje em dia, com o avanço da eletrônica em todas as modalidades do conhecimento humano, os instrumentos acabaram se subdividindo em duas categorias: os acústicos (corda, sopro e precursão) e os eletrônicos.

Instrumentos Eletrônicos

Datam da década de 1960 e são compostos por sintetizadores. São exemplos a guitarra, o teclado, o contra-baixo, etc. Hoje em dia, quase todo instrumento tem sua versão eletrônica.

Há aproximadamente 40 anos foi criado o que veio a ser chamado sintetizador, que nada mais é do que um aparelho capaz de criar uma infinidade de timbres sonoros. Quando o instrumentista aperta uma das teclas do sintetizador, este acaba produzindo eletronicamente a frequência correspondente, junto com um grande número de harmônicos. Em seguida estes harmônicos são amplificados e ajustados a fim de dar uma maior ou menor intensidade nesta frequência específica. A somatória de todas as frequências de saída denominam-se "som sintetizado".

Com a finalidade de criar um som, o músico faz ajustes nas intensidades das frequências envolvidas, a fim de conseguir um timbre que o satisfaça. Porém, antes de 1985, não era possível conseguir sons contendo timbres naturais, como o violino ou o trompete, devido ao fato destes instrumentos produzirem um número muito grande de harmônicos em seus sons.

Com a invenção do sampler ("amostrador"), criou-se o caminho inverso, ou seja, este dispositivo era capaz de captar os sons produzidos por algum instrumento musical e armazená-los em sua memória. Com os consequentes avanços no campo da eletrônica, hoje em dia já se produzem cd's totalmente compostos por sons sintetizados, imitando guitarra, flauta, baixo, etc. Existem modernos teclados eletrônicos que produzem os sons de diversos instrumentos, uma verdadeira orquestra em um único aparelho.

Por fim, acompanhando os avanços dos instrumentos eletrônicos, surgiu uma linguagem de transmissão de dados digital especialmente destinada à música, denominada MIDI (do inglês: musical instrument digital interface), que interliga qualquer instrumento musical a um sintetizador por meio de um cabo conector. Deste modo, caso se registre no sampler do sintetizador o som de uma tuba, pode-se conectar outro instrumento musical, por exemplo um banjo, e, ao tocá-lo, sairá o timbre musical da tuba.

Assim, música é pura arte, mas mesmo a mais essencial das artes pode ser avaliada e estudada pelo universo da Física.

© Revista Eletrônica de Ciências - Número 25 - Abril de 2004.

A influência da matemática na música

De acordo com o engenheiro eletrônico Miguel Ratton, vamos desvendar a relação essencial entre números e sons.

O que música tem a ver com matemática?

Muito mais coisas do que podemos imaginar. As melodias que nos emocionam, são, na verdade, construídas a partir de relações matemáticas muito precisas. O engenheiro eletrônico Miguel Ratton, formado pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ), dá mais detalhes sobre como funciona a dobradinha fundamental música/matemática na entrevista abaixo, confira:

Qual a relação entre a música e a matemática? A música não existe sem a matemática?

A música já existia antes do desenvolvimento da matemática, porque a combinação dos sons, ainda que em boa parte dominada por relações matemáticas, baseia-se em nossa percepção psicoacústica, ou seja, nossa percepção fisiológica do som.

Então, a formação do som e da música é um processo físico?
Totalmente. O som é um fenômeno físico e como tal faz parte do estudo da física. A música é a arte da combinação de sons (e silêncios). Portanto, para entender profundamente música é necessário conhecer física.

Quais teorias matemáticas (teoria dos conjuntos, teoria dos números, álgebra abstrata...) podem ser aplicadas à música? De que forma e por quê?

A música pode ser usada para ilustrar alguns conceitos matemáticos. As figuras de tempo (duração) das notas, por exemplo, são frações de compasso do tipo 1/2, 1/4, 1/8, etc. A altura (afinação) das notas é estabelecida por uma relação exponencial, do tipo "2 elevado a x/12", onde x é a distância de uma nota a outra. A nossa percepção de intensidade dos sons se dá de forma exponencial e por isto medimos intensidade usando uma escala logarítmica (decibel). Já a teoria dos conjuntos poderia ser usada para distinguir alguns harmônicos (frequências múltiplas inteiras) de uma nota que também estão presentes em outra nota.

Os sons constituem o que se chama de escala musical, e eles são definidos de forma matemática, certo?

A escala musical usada atualmente pela maioria dos povos é a escala "igualmente temperada". Esta escala foi estabelecida por volta do século 17I e caracteriza-se por uma relação exponencial: a "distância" entre uma nota e sua oitava (o dobro da frequência) foi dividida exponencialmente em doze partes, de maneira que a relação entre qualquer nota e sua vizinha anterior (exemplo: dó# e dó) é sempre igual à raiz 12 de 2 (aproximadamente 1,059). O estabelecimento dessa escala não foi por acaso, mas sim para resolver o problema que havia nas escalas anteriores, que eram baseadas nas relações puras (3/2, 4/3, etc), definidas originalmente por Pitágoras, e que não permitiam a execução de qualquer música em qualquer tonalidade. A escala temperada possibilita que se façam transposições de tonalidade e modulações sem os inconvenientes (intervalos desafinados) das escalas antigas. É importante observar que, ao se ajustar a escala para o temperamento igual, as relações entre as notas da escala (exceto a oitava) deixaram de ser "acusticamente perfeitas" (3/2, 4/3, 5/4, etc). Esses erros, no entanto, são muito pequenos e não são percebidos pela maioria das pessoas.

Um som agradável ou desagradável tem a ver com a relação matemática entre os sons?

Certamente. Duas notas soando juntas são agradáveis ou não conforme a distância de suas alturas (frequências), sobretudo pela combinação de seus harmônicos. O intervalo mais consonante é a oitava, onde a frequência de uma nota é o dobro da outra e todos os seus harmônicos são iguais. Já no intervalo de quinta, metade dos harmônicos se combinam. A consonância tem a ver com as regiões do ouvido interno que são excitadas pelas duas notas e seus harmônicos: quando essas regiões estão muito próximas, a percepção individual de cada som é dificultada, causando uma sensação desagradável ("aspereza"). Esses intervalos podem ser definidos matematicamente.

Como se formam as notas musicais? Elas estão ligadas também à matemática? De que maneira?

Como mencionei anteriormente, as alturas das notas da escala são determinadas por relações matemáticas. As sete notas naturais (dó, ré, mi, fá, sol, lá, si) foram determinadas inicialmente a partir de relações fundamentais. Posteriormente, foram adicionadas as outras cinco notas ("acidentes" - sustenidos/bemóis) para completar os espaços entre todas as notas.

Existem registros na Antiguadade de estudos que relacionavam música e matemática?

O sábio grego Pitágoras provavelmente foi o maior estudioso da antiguidade sobre o assunto, e a escala que usamos hoje foi baseada na escala pitagórica. Mas também há indícios de que na antiga China já havia estudos de uma escala temperada.

Qual a diferença entre ritmo e harmonia?

Ritmo é a combinação de sons no decorrer do tempo. Harmonia é a combinação de sons simultâneos. Poderíamos dizer que o ritmo é "horizontal" e a harmonia é "vertical" - exatamente como representamos na pauta.

O ensino da música pode contribuir para o aprendizado da matemática? E também de outras matérias?

Acredito que a música possa ilustrar e tornar mais divertido o aprendizado de disciplina, como a matemática e a física. Muitas pessoas que gostam de matemática e física acabam se interessando pela música e vice-versa.